#Theorema Magnum MXM: die Witten-Vermutung [Mathlog]
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„Theorema Magnum MXM: die Witten-Vermutung [Mathlog]“
Die Stringtheorie entstand ursprünglich aus dem Versuch der Physiker, die starke Wechselwirkung zu verstehen. Bei ihrer Entwicklung kamen reichhaltige mathematische Strukturen zutage, die aber wenig mit starker Wechselwirkung zu tun hatten. In den 70er Jahren war dann mit einer nichtabelschen Eichtheorie – der Beschreibung durch ein Yang-Mills-Feld zur Eichgruppe SU(3)xSU(2)xU(1) – eine erfolgreiche Theorie zur Erklärung der starken Wechselwirkung entstanden, das sogenannte Standardmodell. Doch die mathematische Struktur der Stringtheorie behielt ihre Faszination und während die ursprüngliche Motivation verblaßte, glaubte man nun, dass Stringtheorie den Rahmen für die Versöhnung von Gravitation und Quantenmechanik liefern könnte. Dafür muß man glauben, dass es zehn statt vier Dimensionen gibt, also neben der 4-dimensionalen Raum-Zeit noch sechs weitere Dimensionen in einer Größenordnung von 10-35 Metern. Diese zusätzlichen Dimensionen sollen eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bilden, also eine komplexe 3-Faltigkeit komplizierter Topologie, die die Voraussetzungen der von Yau bewiesenen Calabi-Vermutung erfüllt.
Wesentliche Beiträge zur Stringtheorie kamen von Edward Witten, der, obwohl er ein Physiker war, die Mathematik wie nur wenige Mathematiker beherrschte und immer wieder überraschende mathematische Interpretationen physikalischer Ideen fand.
Anfang der 80er Jahre fand er mit Hilfe des Dirac-Operators einen einfacheren Beweis der von Schoen und Yau bewiesenen Positivität der Energie in der Gravitationstheorie. Danach bewies er mit Vafa, einem iranischen Physiker, physikalisch motivierte Abschätzungen für die Eigenwerte des Dirac-Operators. Seit Ende der 80er Jahre befaßte er sich mit einer hypothetischen Verallgemeinerung des Dirac-Operators auf Schleifenräumen von Mannifaltigkeiten: der Index dieses Operators sollte ein gewisses elliptisches Geschlecht sein. Darüber hinaus hatten seine Arbeiten über globale Anomalien die Eta-Invariante prominent gemacht. Eine von ihm physikalisch begründete Formel konnten Atiyah und Singer aus allgemeinen Prinzipien herleiten. Wegen analytischer Schwierigkeiten verzögerte sich die Arbeit, die sie dann mit Donnolly doch noch abschloßen und in den Annals of Mathematics veröffentlichten, einen unabhängigen Beweis gab Werner Müller.
Vor allem beeindruckte Witten die Mathematiker aber mit einer physikalischen Interpretation des wenige Jahre zuvor von Vaughan Jones gefundenen Knotenpolynoms.
Witten fand für das Jones-Polynom eine stringtheoretische Interpretation mit Hilfe eines Pfadintegrals.
Für einen Zusammenhang A auf einem (trivialen) G-Bündel über einer 3-Mannigfaltigkeit M, der als 1-Form mit Werten in der Lie-Algebra von G angesehen werden kann, betrachtet man das Chern-Simons-Funktional
