#Theorema Magnum MMIII: die Poincaré-Vermutung – Mathlog

Ende des 19. Jahrhunderts etablierte Poincaré die Topologie als „Methode, die uns die qualitativen Beziehungen in einem Raum zu erkennen erlaubt“. Er argumentierte, sie „könnte auf gewisse Weise Dienste leisten, die jenen der Zahlen analog wären“. Als topologische Invarianten definierte er die Fundamentalgruppe und die Zusammenhangszahlen und Torsionskoeffizienten (in heutigen Begriffen den Rang und die Torsion der Homologiegruppen). In einer der Ergänzungen der Analysis Situs behauptete er, dass eine 3-Mannigfaltigkeit mit denselben Zusammenhangszahlen und Torsionskoeffizienten wie die 3-dimensionale Sphäre zu dieser homöomorph sein müsse. Er fand dann selbst ein Gegenbeispiel durch Verkleben zweier Vollbrezeln, die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre. Deren Fundamentalgruppe war eine perfekte Gruppe der Ordnung 120, die erste Homologiegruppe als Abelisierung der Fundamentalgruppe also trivial, woraus mit Poincaré-Dualität folgt, dass auch die anderen Homologiegruppen mit denen der 3-Sphäre übereinstimmen. Dementsprechend modifizierte er seine Vermutung: eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit sollte homöomorph zur S³ sein, wenn die Fundamentalgruppe trivial ist. In den folgenden Jahren entwickelten Dehn und Heegaard den kombinatorischen Zugang zur Topologie über Simplizialkomplexe und sie beschrieben Konstruktionen von 3-Mannigfaltigkeiten, die heute als Dehn-Chirurgie und Heegaard-Zerlegung bezeichnet werden.

Die Topologie von Mannigfaltigkeiten blieb für die folgenden Jahrzehnte in Dimension 3 stecken und auch dort gab es keine wesentlichen Fortschritte. In den 30er Jahren klassifizierte Seifert die nach ihm benannten Seifert-Faserungen, in den 50er Jahren bewies Papakyriakopoulos das Schleifenlemma und den Sphärensatz, und Haken entwickelte Anfang der 60er Jahre die Theorie von irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten mit inkompressiblen Flächen, heute als Haken-Mannigfaltigkeiten bekannt. 1981 wurde durch Stephen Smale das Analogon der Poincaré-Vermutung in Dimensionen n≥5 gelöst (eine einfach zusammenhängende, geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit der Homologie der n-Sphäre ist homöomorph zu dieser) und 1982 durch Freedman auch in Dimension n=4.

Nach vielen gescheiterten topologischen oder kombinatorischen Ansätzen zur 3-dimensionalen Poincaré-Vermutung bekam man durch Thurstons Arbeiten zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten erstmals eine größere Theorie, in die man die Poincaré-Vermutung einbetten konnte. Nach Thurstons Geometrisierungsvermutung sollten die Stücke in der Jaco-Shalen-Johansson-Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit geometrisierbar sein, also eine Metrik haben, mit der die universelle Überlagerung eine von acht Modellgeometrien ist. Hinreichend komplizierte Stücke sollten eine hyperbolische Metrik (Krümmung konstant -1) tragen, während Stücke mit endlicher Fundamentalgruppe eine sphärische Metrik (Krümmung konstant +1) haben sollen. Da schon Élie Cartan bewiesen hatte, dass es nur die bekannten Beispiele einfach zusammenhängender Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung – Sphäre, euklidischer Raum, hyperbolischer Raum – gibt, folgt aus der Geometrisierungsvermutung insbesondere die Poincaré-Vermutung.

Der interessanteste Teil der Geometrisierungsvermutung war die Hyperbolisierung von irreduziblen, atoroidalen 3-Mannigfaltigkeiten, für deren Beweis im Laufe der Zeit eine Reihe verschiedener Ansätze versucht wurden. Thurston bewies die Geometrisierung im Fall von Haken-Mannigfaltigkeiten (irreduzible Mannigfaltigkeiten mit einer inkompressiblen Fläche) und von 3-Mannigfaltigkeiten, die über dem Kreis fasern. Die vollständigen Beweise wurden in beiden Fällen später von McMullen und unabhängig von Otal ausgearbeitet. Thurston hatte auch ein Programm, mit dem der Beweis für gefaserte 3-Mannigfaltigkeiten auf 3-Mannigfaltigkeiten mit straffen Blätterungen ausgedehnt werden sollte. Ein anderes als aussichtsreich geltendes Programm wurde von Cannon initiiert und verwendete Methoden der geometrischen Gruppentheorie: man wollte zunächst zeigen, dass die Fundamentalgruppe hyperbolisch ist, hätte dann nach einem Satz von Bestvina-Mess gewusst, dass deren Rand im Unendlichen die 2-Sphäre ist und hätte die Wirkung der Gruppe auf dieser 2-Sphäre studieren können in der Hoffnung, die Gruppenwirkung in eine Kleinsche Gruppe konjugieren zu können. Ein anderer Ansatz ging über die Virtuell-Haken-Vermutung: Thurston hatte gefragt, ob alle irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten von einer Haken-Mannigfaltigkeit endlich überlagert werden. Diese endliche Überlagerung wäre dann nach Thurstons Beweis hyperbolisch. Gabai und Meyerhoff zeigten mit Hilfe numerischer Berechnungen, die von Thurstons Sohn Nathaniel durchgeführt wurden, dass aus der Existenz einer hyperbolischen endlichen Überlagerung die Hyperbolizität der 3-Mannigfaltigkeit selbst folgt. Ein ganz anderer Ansatz zur Poincaré-Vermutung verwendete Methoden der Eichtheorie: Kronheimer und Mrowka bewiesen, dass 1-Chirurgien an Knoten niemals Homotopiesphären geben. Dafür verwendeten sie sowohl die Seiberg-Witten-Invarianten als auch Gabais Existenzsatz für Blätterungen und einen von Eliashberg und Thurston bewiesenen Satz über die Deformierbarkeit von Blätterungen in Kontaktstrukturen. Daneben gab es auch noch analytische Ansätze. Michael Anderson wollte durch Minimierung eines gewissen Funktionals auf dem Raum Riemannscher Metriken zeigen, dass es unter geeigneten Voraussetzungen eine Metrik konstanter Krümmung gibt. Und Richard Hamilton hatte eine Theorie der Krümmungsflüsse auf dem Raum Riemannscher Metriken entwickelt, die unter geeigneten Voraussetzungen in eine Metrik konstanter Krümmung konvergieren sollten.