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#Die Mathematik von Penrose‘s Singularitätentheorem – Mathlog

Die Mathematik von Penrose‘s Singularitätentheorem – Mathlog

Roger Penrose ist heute mit dem Physik-Nobelpreis ausgezeichnet worden für sein Singularitätentheorem, das die Existenz von schwarzen Löchern vorhersagt, welche von den beiden anderen Preisträgern Reinhard Genzel und Andrea Ghez dann in unserer Galaxie entdeckt wurden.

Was ist der mathematische Inhalt des Singularitätentheorems?

In der allgemeinen Relativitätstheorie geht es um pseudo-Riemannsche Metriken auf einer Raum-Zeit, die der Einsteinschen Feldgleichung Ric_{mu nu} - tfrac{1}{2}Scal g_{mu nu} + Lambda g_{mu nu} = frac{8 pi G }{c^4} T_{mu nu} genügen sollen, wobei g den metrischen Tensor (d.h. die semi-Riemannsche Metrik), Ric den Ricci-Tensor (das ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors) und Scal die Skalarkrümmung (das ist die Spur des Ricci-Tensors) bezeichnet. Λ ist die kosmologische Konstante und auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuum Null ist.

Das einfachste Beispiel ist die Minkowski-Metrik auf dem R3+1. Eine kompliziertere klassische Lösung ist zum Beispiel die Schwarzschild-Metrik, bei der es eine Singularität gibt und jenseits dieser Singularität noch einmal eine gespiegeltes Kopie der oberen Hälfte. In der SF-Literatur wird das gelegentlich verwendet für Geschichten über Raumfahrer, die durch ein schwarzes Loch fliegen und sich dann in einer Anti-Welt wiederfinden.

Masselose Teilchen wie Photonen (vulgo: Licht) bewegen sich auf Nullgeodäten, d.h. die Tangentialvektoren der Geodäten haben bzgl. der pseudo-Riemannschen Metrik die Länge Null.
Eine Raumzeit heißt nullgeodätisch unvollständig, wenn es Nullgeodäten gibt, die sich nicht bis zur Zeit t=∞ fortsetzen lassen.
Ein einfaches Beispiel aus der Riemannschen Geometrie wäre {bf R}^2-left{(0,0)right}, wo sich etwa die in (0,1) startende Geodäte gamma(t)=(0,1-t) nur bis t=1 und nicht in diesen Punkt hinein oder darüber hinaus fortsetzen läßt.

Der Singularitätensatz von Penrose gibt mathematische Bedingungen, unter denen eine Raumzeit nullgeodätisch unvollständig ist. Man kann also diese Bedingungen nachprüfen und weiß dann, dass es schwarze Löcher gibt, aus denen das Licht nicht mehr herauskommt.

Die präzisen mathematischen Bedingungen sind erwartungsgemäß kompliziert zu formulieren; ich kopiere sie einfach aus der Wikipedia:

– Die starke Energiebedingung T_{ab} k^a k^b ge 0 gilt entlang aller kausaler Kurven.

– Jede kausale Kurve mit Tangentialvektorfeld ua enthält einen Punkt mit nicht verschwindender effektiver Krümmung: u^cu^du_{[a}R_{b]cd[e}u_{f]}neq0.

– Die Raumzeit ist chronologisch.

– Die Raumzeit enthält mindestens eines der folgenden:

* eine abgeschlossene raumartige Fläche T, deren mittleres Krümmungsvektorfeld vergangenheitsgerichtet und zeitartig ist.

* eine kompakte achronale (raum- oder lichtartige) Untermannigfaltigkeit T ohne Rand

* einen Punkt x so, dass entlang jeder vollständig in die Vergangenheit (in die Zukunft) fortgesetzten Nullgeodäte vom Punkt x ausgehend mit dem Tangentialvektorfeld ua, die Spur theta = u^a_{,, ;a} des kovarianten Ableitungstensors u^a_{,, ;b} der Nullgeodätenschar aus x negativ wird.

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