#strukturelle Stabilität hyperbolischer Systeme – Mathlog

Newton als Begründer der klassischen Mechanik hatte im 17. Jahrhundert geglaubt, dass sein mathematisches Modell des Sonnensystems keine stabilen Lösungen habe. (Er hatte gemeint, dass das Sonnensystem gelegentliche göttliche Einflußnahme brauche, um stabil zu bleiben. Solche Fragen wurden damals von Theologen sehr ernst genommen.) Poincaré überzeugte die Mathematiker im späten 19. Jahrhundert, dass das Sonnensytem intrinisch instabil sei und eine beliebig kleine Unsicherheit über die Position der Planeten alle Vorhersagen unmöglich machten. Die weitere Entwicklung der Ergodentheorie wurde eher als Bestätigung seiner Sichtweise gesehen. Erst Kolmogorows Vortrag “Harnessing probabilities and the deterministic equations of mechanics” auf dem Internationalen Mathematikerkrongreß 1954 zeigte dem verblüfften Publikum, dass das Sonnensystem “wahrscheinlich” stabil ist – Instabilität ist möglich, kommt aber nur selten vor; es gibt ein Problem mit kleinen Divisoren, die gewisse Trajektorien eliminieren, aber selbst so erhält man probabilistisch gesehen Langzeitstabilität. Das widersprach der Intuition vieler Mathematiker, die meinten dass generische in der Physik vorkommende Systeme ergodisch sein sollten. Etwa gleichzeitig wurde diese Überzeugung aber auch durch numerische Computerexperimente von Fermi, Pasta, Ulam und Tsingou erschüttert. Diese hatten in Los Alamos den MANIAC I mit ihrem Modell gekoppelter Oszillatoren gefüttert, um numerisch seine Ergodizität zu beweisen, hatten aber überraschend ein quasiperiodisches Verhalten und häufiger Integrabilität als Nichtintegrabilität gefunden. Kolmogorows Behauptungen waren zunächst kaum akzeptiert worden, wegen der Komplexität des Problems und auch wegen Kolmogorows elliptischem Vortragsstil. Es dauerte fast zehn Jahre, bis Arnolds und Mosers unterschiedliche Beweise dann die Mathematiker überzeugten.

Die Stabilität in der Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorie bedeutet, dass eine kleine Störung fast immer zu quasiperiodischen Lösungen führt, die zwar nicht unbedingt periodisch sein müssen, aber jedenfalls auf einem invarianten Torus liegen. (Wo sie eventuell dicht liegen können, wenn die Anstieg irrational sind.)

Das ist natürlich ein recht schwacher Stabilitätsbegriff. Ein stärkerer Begriff ist die „strukturelle Stabilität“: ein dynamisches System heisst strukturell stabil, wenn kleine Störungen stets zum ursprünglichen System konjugiert sind. (D.h. es gibt einen Homöomorphismus des Phasenraums, der das gestörte System in das ursprüngliche überführt.)
Andronov und Pontrjagins hatten 1937 präzise Bedingungen angegeben, wann ein dynamisches System aus dem R² strukturell stabil ist. (Die Bezeichnung „strukturell stabil“ findet sich erst in Lefschetzs Übersetzung.) Insbesondere hatten sie für ebene Syteme gezeigt, dass strukturelle Stabilität generisch ist. (Peixoto verallgemeinerte das später für dynamische Systeme auf beliebigen Flächen.) Pontrjagin war aber davon ausgegangen, dass es strukturelle Stabilität in höheren Dimensionen nicht geben würde.

Stephen Smale kannte Thoms Arbeiten zu Transversalität und schlug vor, dass Flüsse dann und nur dann strukturell stabil sein sollten, wenn sich die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Gleichgewichte oder periodischen Bahnen transversal schneiden. (Solche Flüsse werden heute als Morse-Smale-Flüsse bezeichnet.) Er war überzeugt, dass generische Differentialgleichungssysteme diese Eigenschaft haben sollten – wie es ja bei zwei-dimensionalen Systemen der Fall war nach dem Kriterium von Andronow und Pontrjagin (und allgemeiner für Flüsse auf Flächen nach einem Satz von Peixoto). Wenn er mit der klassischen Literatur, angefangen mit Poincaré, vertraut gewesen wäre, hätte er gesehen, wie abwegig dieses Vermutung war. (Immerhin fanden Flüsse mit dieser Eigenschaft eine Anwendung im Beweis verallgemeinerter Morse-Ungleichungen.) 
Jedenfalls brachten ihm diese Ideen eine Einladung nach Brasilien, wo er aber über Topologie arbeitete und (nach eigener Aussage an den Stränden von Rio) den h-Kobordismussatz und die höher-dimensionale Poincaré-Vermutung bewies.
Verschiedene Mathematiker wiesen ihn bald auf Gegenbeispiele zur Generizität der Morse-Smale-Systeme hin. Smale wollte dies zunächst nicht glauben, fand bei der Beschäftigung mit den Gegenbeispielen dann aber die Hufeisen-Abbildung als Beispiel einer „chaotischen“ strukturell stabilen Abbildung mit unendlich vielen periodischen Bahnen.

Der richtige Ansatz zur strukturellen Stabilität war dann der Begriff der Hyperbolizität. Nach einigen falschen Ideen vermutete Smale, dass hyperbolische Systeme strukturell stabil sein sollten. Er hatte keine Ansätze, wie man das beweisen könnte. Die wesentlichen Ergebnisse dazu kamen dann von der Moskauer Schule bald nachdem Smale 1961 auf einer Konferenz in Kiew den sowjetischen Mathematikern seine Vermutungen präsentiert hatte.