Für die Lösung eines Randwertproblems muss man nicht nur ein Funktional J(u) minimieren, sondern noch eine Nebenbedingung b(u,m)=0 berücksichtigen. Mit der Lagrange-Methode muß man also ein Funktional L(v,m) minimieren und bekommt dann durch Ableiten von L die Gleichungen a(u,v)+b(v,λ)=f(v) für alle v und b(u,m)=0 für alle m, ein sogenanntes Sattelpunktproblem.
Während bei elliptischen Problemen wie der Poisson-Gleichung die meisten Finite-Elemente-Approximationen gegen die wahre Lösung konvergieren, sind bei hyperbolischen Problemen viele Diskretisierungen instabil, was zu Artefakten wie Störschwingungen führt.
Babuška benutze seine allgemeine Version des Lemma von Lax-Milgram, um eine inf-sup-Bedingung für die Lösbarkeit des Sattelpunktproblems anzugeben: wenn es ein positives β gibt, so dass
Die LBB-Bedingung gibt also Kriterien an, wann eine Diskretisierung eines Sattelpunktproblems stabil ist. Die Bedingung spielt eine grundlegende Rolle in der Formulierung von stabilen numerischen Diskretisierungen von den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen über die stationäre Stokes-Gleichung bis hin zum Darcy-Gesetz für Strömungen in Sedimentgestein.
Bild: https://shellbuckling.com/presentations/livingA2G/pages/page_82.html
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