Theorema Magnum MMXXII: die André-Oort-Vermutung – Mathlog

Shimura-Varietäten kommen in der algebraischen Geometrie als Modulräume abelscher Varietäten mit gewissen Zusatzstrukturen vor. Das einfachste Beispiel ist die Modulkurve H²/SL(2,Z), der Quotientenraum der oberen Halbebene unter der Wirkung der Gruppe der ganzzahligen 2×2-Matrizen SL(2,Z) durch gebrochen-lineare Transformationen .

Sie ist der Modulraum elliptischer Kurven, denn zu einer elliptischen Kurve hat man ihre j-Invariante in H² und die Bahnen der SL(2,Z)-Wirkung auf H² entsprechen denselben elliptischen Kurven. Man kann (für ein gegebenes N) auf einer elliptischen Kurve als zusätzliche Struktur noch die Gruppe der N-Torsionspunkte betrachten und der Modulraum von elliptischen Kurven mit dieser zusätzlichen Struktur ist eine Überlagerung des ursprünglichen Modulraums. Er entspricht dem Quotientenraum H²/Γ(N) zu einer Kongruenzgruppe .

Die hyperbolische Ebene ist das einfachste Beispiel eines hermiteschen symmetrischen Raumes und Shimuras ursprünglicher Zugang zu den später nach ihm benannten Varietäten war als Quotienten von hermiteschen symmetrischen Räumen nach Kongruenzgruppen. Diese Shimura-Varietäten entstehen als Modulräume abelscher Varietäten (das sind algebraische Varietäten mit einem kommutativen Gruppengesetz) mit der zusätzlichen Struktur einer Hauptpolarisierung (oder äquivalent mit gewissen Hodge-Strukturen).

Elliptische Kurven lassen sich als Tori C/L für ein Gitter L darstellen und für sehr spezielle Gitter L gibt es dann Multiplikationen mit komplexen Zahlen, unter denen L invariant ist. (Zum Beispiel ist Z+Zi invariant unter Multiplikation mit i.) Die solchen elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation entsprechenden Punkte auf der Modulkurve bezeichnet man als CM-Punkte. Analog kann es komplexe Multiplikation auch für höher-dimensionale abelsche Varietäten geben und diese entsprechen dann CM-Punkten auf den entsprechenden Shimura-Varietäten. (Vereinfacht gesagt, sind spezielle Untervarietäten von Shimura-Varietäten die von diesen CM-Punkten gebildeten Varietäten, oder die Komponenten des Komplements der Hodge-generischen Menge, d.h. der Menge von Varietäten mit Hodge-Struktur, für die Mumford-Tate-Gruppe maximal ist.)

Die André-Oort-Vermutung betrifft die Verteilung solcher CM-Punkte auf Untervarietäten von Shimura-Varietäten. Für den Zariski-Abschluss (also die kleinste die Menge enthaltende algebraische Untermenge) einer beliebigen Menge von CM-Punkten soll jede irreduzible Komponente wieder eine spezielle Untervarietät sein.

Die André-Oort-Vermutung verallgemeinerte die 1983 von Raynaud bewiesene Manin-Mumford-Vermutung, derzufolge Kurven (vom Geschlecht mindestens 2) in abelschen Varietäten nur endlich viele Torsionspunkte bezüglich der Gruppen-Struktur der abelschen Varietät haben können. (Insbesondere gilt das für eine beliebige Kurve als Teilmenge ihrer Jacobi-Varietät. Das wurde für den Beweis der Mordell-Lang-Vermutung benötigt.)

Die Vermutung war 2014 von Klingler, Ullmo und Yafaev unter der Annahme der verallgemeinerten Riemann-Vermutung bewiesen worden, die freilich noch viel unbewiesener ist als die klassische Riemann-Vermutung. Schon zuvor hatte Jonathan Pila den Ansatz verfolgt, o-Minimalität zu benutzen, und hatte damit 2009 die André-Ooort-Vermutung für den Fall beliebiger Produkte von Modulkurven bewiesen. (o-Minimalität, ein Konzept aus der Modelltheorie in der mathematischen Logik, war zuvor bereits von Hrushovski für einen alternativen Beweis der Manin-Mumford-Vermutung verwendet worden. o-minimale Strukturen bestehen aus sogenannten definierbaren Mengen, die gewisse Axiome erfüllen, die zum Beispiel für die Struktur der semialgebraischen Mengen gelten, aber eben auch für größere Strukturen. Für solche Strukturen kann man dann in der Theorie der semialgebraischen Mengen geltende Sätze übertragen.) Pila benutzte einen solchen Ansatz, um eine “Höhe” für CM-Punkte zu definieren, entsprechend der man die CM-Punkte dann ordnen und auflisten kann. 2020 zeigten Biniyamini, Schmidt und Yafaev, dass eine gewisse Schranke für diese Höhen die André-Oort-Vermutung implizieren würde und diese Schranke wurde dann (mit Vorarbeiten von Esnault und Groechenig) von Pila, Ananth Shankar und Jacob Tsimerman bewiesen.