#Wide Binary Test – der Lackmustest für MoND – Alpha Cephei

Die Theorie der Dunklen Materie postuliert unsichtbare Teilchen, deren Gesamtmasse die der normalen, “baryonischen” Materie um den Faktor 5 (im kosmischen Durchschnitt) übersteigen soll. Damit soll der Zusammenhalt der ansonsten viel zu schnell in den Galaxien kreisenden Sterne wie auch derjenige der zu rasch umeinander sausenden Galaxien in Galaxienhaufen erklärt werden, denn gemessen an der sichtbaren Masse müssten sich Galaxien und Galaxienhaufen eigentlich in alle Richtungen zerstreuen, weil ihre Geschwindigkeiten die jeweiligen Fluchtgeschwindigkeiten überschreiten. Das Schöne an der Theorie ist, dass sie nebenbei auch erklärt, wie die Struktur in der kosmischen Hintergrundstrahlung entstanden ist, wie die Strukturbildung im Universum insgesamt abgelaufen ist und wie die Lichtablenkung um Galaxienhaufen zustande kommt. Einziger Schönheitsfehler ist, dass noch niemand die Trägerteilchen der Dunklen Materie gefunden hat. Das ist zwar kein Gegenbeweis – Teilchen, die nur über ihre Schwerkraft wirken, sind im Labor nur schwer dingfest zu machen und sehr leichte oder seltene, schwere Teilchen könnten allen bisherigen Experimenten verborgen geblieben sein. Aber eben auch keine besonders solide Basis. Deswegen verfolgen einige Astronomen einen alternativen Ansatz, demgemäß die Newtonsche Gravitationstheorie (die als Spezialfall der Allgemeinen Relativitätstheorie für große Abstände immer noch Gültigkeit hat) selbst modifiziert werden müsse, um etwa die Rotationskurven von Galaxien zu erklären.

 

Regimegegner

Die wohl populärste Variante ist die Modifizierte Newtonsche Dynamik von Mordehai Milgrom (1983), die das Newtonsche Gravitationsgesetz für kleine Schwerebeschleunigungen folgendermaßen modifiziert: Bei Newton gilt zunächst, dass die Schwerebeschleunigung (oder Fallbeschleunigung) a im Abstand r von einer Masse m_G gegeben ist durch:

wobei G = 6,67·10^-11 m³kg^-1s^-2 die Gravitationskonstante ist. Beispielsweise ist die Masse der Erde ca. 6·10²⁴ kg und unser Abstand vom Erdzentrum rund 6.380.000 m, das ergibt mit obiger Formel eine Schwerebeschleunigung von 9,8 m/s², also die berühmte Fallbeschleunigung der Erde.

Bei MoND soll die Schwerebeschleunigung unterhalb einer gewissen Grenzbeschleunigung a₀ (im sogenannten “MoNDschen Regime”) jedoch folgende Form annehmen:

a₀ ist in der Theorie eine Naturkonstante, die bei 1,2·10^-10 m/s² liegt – viel weniger Schwerkraft, als sie irgendwo im Sonnensystem zu finden wäre. Setzt man zum Spaß einmal die Erdmasse ein, so erhält man für die Schwerebeschleunigung einen viel kleineren Wert von nur 3,13·10^-5 m/s² – aber auf der Erde sind wir ja tief im Newtonschen Regime, wo die Formel nicht gilt. Für sehr kleine Schwerebeschleunigungen kleiner als a₀ werden diese in der Milgromschen MoND-Formel hingegen größer als bei Newton, z.B. ergibt MoND da, wo Newton 10^-12 m/s² liefert, eine zehnmal höhere Schwerebeschleunigung von 10^-11 m/s², und die soll dann dafür sorgen, dass sich Sterne und Galaxien schneller bewegen müssen. Im Bereich oberhalb von a₀ soll eine Funktion μ(a/a₀) einen glatten Übergang vom Newtonschen Regime zum MoNDschen Regime ermöglichen, so dass μ(a/a₀)=1 für große a und μ(a/a₀)=a/a₀ für kleine a. Dann nimmt das MoNDsche Gravitationsgesetz die allgemeine Form an:

Weder für µ noch für a₀ gibt es eine theoretische Grundlage, aber wenn die Formel funktioniert, ist das zunächst einmal zweitrangig. Und die Formel reproduziert die Rotationskurven von Galaxien, wenn man µ und a₀ passend wählt; µ(x) = x/√(1+x²) ist ein geeigneter Fit. Sie funktioniert bei allen möglichen Galaxien – mit wenigen Ausnahmen.

Und bei den Ausnahmen kommt der externe Feldeffekt zur Hilfe: dieser besagt, dass die Schwerkraft einer benachbarten Masse (hier: einer benachbarten Galaxie) µ wieder in den Newtonschen Bereich verschiebt. So würde etwa die Schwerkraft der Milchstraße einen Einfluss darauf haben, mit welcher Kraft die Erde den Mond an sich bindet. Bei Newton spielen hingegen räumlich konstante Schwerefelder keine Rolle. Eine Gravitationswaage liefert bei Newton auf der Erde die gleiche gemessene Anziehungskraft wie im Weltraum. Bei MoND mit externem Feldeffekt würde sie im Weltraum eine größere Schwerkraft messen.

 

Stellare Fernbeziehungen

Um die Frage zu klären, ob nun Newton oder Milgrom richtig liegen, muss ein unabhängiger Test her. Ein solcher Test müsste die Bewegung einer Masse in einem extrem kleinen Schwerefeld (eben im MoNDschen Regime) betrachten, in dem keine nennenswerte Dunkle Materie vorhanden sein darf, und dann entscheiden, ob hier die kleinere Newtonsche Beschleunigung oder die größere MoND-Beschleunigung wirkt. Gravitationswaagen sind dazu leider nicht genau genug. Der ideale Lackmustest wäre der Wide Binary Test: die Beobachtung eines weiten Sternsystems aus zwei Sternen, die sich in 5.000-20.000 astronomischen Einheiten (AE) Abstand umkreisen. Anders als im Sonnensystem, wo viele Planeten die Bewegung einer Masse beeinflussen, stört in dieser Entfernung kein anderes Objekt, ist man dennoch weit genug von anderen Sternen entfernt (die im Schnitt 250.000 AE voneinander entfernt sind) und auf diesen Distanzen spielt die Dunkle Materie noch keine Rolle. Bei einem Stern von einer Sonnenmasse wird a₀ bei einer Entfernung von 7.000 AE erreicht, das sind rund eine Billion km.

Indranil Banik und Pavel Kroupa [1] von der Universität Bonn schlagen dazu vor, den uns nächsten weiten Doppelsternpartner, Proxima Centauri, zehn Jahre lang mit dem zukünftigen Weltraumteleskop THEIA zu beobachten und ihre Bahn um die beiden Hauptsterne α Centauri A und B sehr genau zu vermessen. Da uns Proxima mit 4,2 Lichtjahren sehr nahe ist (sie ist der uns nächste Stern überhaupt), machen bei ihr kleine Geschwindigkeiten vergleichsweise große Winkelgeschwindigkeiten am Himmel aus, und die können wir über die Jahre als zurückgelegte Winkel messen. Proxima ist 13.000 AE von α Centauri A/B entfernt, die selbst im Mittel nur 24 AE voneinander getrennt sind und somit wie eine gemeinsame Punktmasse auf Proxima wirken.

THEIA ist bisher allerdings nur eine Studie und noch lange nicht abgenickt. Dem längst im Weltraum befindlichen Gaia-Teleskop trauen die beiden Autoren nicht zu, dass es eine Chance hätte die Geschwindigkeit von Proxima relativ zu α Centauri A/B hinreichend zu messen, obwohl die Schwerebeschleunigung bei MoND um 45% größer als bei Newton wäre. Ein Problem, warum Gaia bei Proxima nicht einsetzbar ist, dürfte daran liegen, dass sie keine Sterne heller als 3. Größenklasse messen kann – sie wird von deren Licht geblendet. α Centauri A und B sind mit 0,0 und 1,3 Größenklassen deshalb viel zu hell für Gaia und somit kann der Bezugspunkt der Bahn von Proxima nicht genau genug verortet werden.

Banik und Kroupa haben ermittelt, dass sich über zehn Jahre eine Differenz von nur 7,18 Mikrobogensekunden zwischen der Position bei MoND mit externem Feldeffekt und bei Newton ergeben würde, das ist ungefähr der Winkeldurchmesser einer Euromünze – auf dem Mond!

THEIA soll eine Winkelauflösung von 0,5 Mikrobogensekunden erreichen. Führte man hinreichend viele Messungen durch, die den Durchmesser von Proxima, der mit 1,3 Millibogensekunden 180 mal größer ist als die erwartete Winkelabweichung, sowie mögliche Effekte durch große Sternenflecken ausmitteln würden, dann würde man mit der Auflösung von THEIA binnen 10 Jahren zu 99% (5σ) sicher unterscheiden können, ob die Bewegung MoND oder Newton folgt.

 

Masse statt Klasse

Während Banik und Kroupa noch auf THEIA hoffen, haben Charalambos Pittordis und Will Sutherland [2] von der Queen Mary Universität in London ihr Vertrauen in Gaia und ihre gewaltige Datenbasis gesetzt, um den Wide Binary Test tausende Male durchzuführen. Sozusagen Masse statt Klasse (d.h. Präzision). Gaia kann theoretisch bereits Positionsmessungen mit 0,5 Mikrobogensekunden Präzision durchführen; in der Praxis ergeben sich jedoch allerlei Fehlerquellen, die aber minimiert werden, wenn man nur die Abstände eng benachbarter Sterne betrachtet, die von den gleichen Messfehlern betroffen sind.

Im Gaia-Datenrelease 2 sind die Positionen und Bewegungen von 1,3 Milliarden Sternen enthalten. Aus diesen Daten kann man sehr viel Wissen schöpfen, wenn man sie richtig auswertet. Pittordis und Sutherland haben sich automatisch die passenden Sternpaare aus der Datenbank heraussuchen lassen:

• Sterne, die näher als 200 parsec (650 Lichtjahre) und mindestens 16. Größenklasse hell sind, damit die Entfernung zuverlässig gemessen wurde: 970.760 Treffer.
• Darunter Sternpaare in identischer Entfernung und mit einem Geschwindigkeitsunterschied von weniger als 3 km/s, deren projizierter Abstand kleiner als 40.000 AE ist (aus dem Winkelabstand und der Entfernung ermittelt; “projiziert” heißt, dass nur der Winkelabstand von der Sichtlinie berücksichtigt wird, nicht etwaige Abstandsunterschied, weil diese nicht mit der notwendigen Präzision von Gaia gemessen werden können): 50.003 Treffer.
• Ausschluss von Sternpaaren in dicht besetzten Regionen wie Sternhaufen und der Milchstraßenebene, um zufällig benachbarte, nicht umeinander kreisende Sterne auszufiltern: verbleiben 33667 Treffer.
• Ausschluss von Sternpaaren, bei denen einer der Sterne noch in einem anderen Paar enthalten war (sich zusammen bewegende Gruppen): verbleiben 30550 Treffer.
• Ausschluss von potenziellen dritten Partnern bis 20. Größenklasse in gleicher Entfernung mit weniger als 5 km/s Geschwindigkeitsunterschied und in weniger als 2/3 des Winkelabstands der beiden Hauptsterne: verbleiben 30.175 Treffer.
• Schließlich Ausschluss von Sternpaaren, bei denen bei mindestens einem der Sterne die Datenqualität gemäß gewisser statistischer Kenngrößen im Gaia-Katalog nicht ausreichend war: verbleiben am Ende 24.282 Kandidaten.

Die Gaia-Daten reichen nicht aus, um die Bahnen der einzelnen Sterne umeinander zu bestimmen, sondern lediglich zur Bestimmung der projizierten Geschwindigkeitsdifferenzen Δv_p für die projizierten Abstände r_p. Man kann es sich ungefähr so vorstellen, als ob man von einem Mobile des Sternenpaares nur die Schatten sieht und aus der Bewegung der Schatten auf die wahre Bewegung der Mobile-Sterne schließen soll. Das ist in jedem Einzelfall unmöglich, weil man nicht weiß, wie die Umlaufbahn gegen die Sichtlinie verkippt ist und mit welcher Geschwindigkeit sich die Sterne parallel zur Sichtlinie bewegen (Radialgeschwindigkeit). Betrachtet man aber die Statistik vieler Sterne, dann ergibt sich eine charakteristische Verteilung der projizierten Geschwindigkeiten, und die weicht bei MoND von derjenigen bei Newton ab.

Um die Geschwindigkeitsdifferenzen Δv_p von Sternpaaren mit verschiedenen projizierten Abständen r_p und Massen (letztere wurden aus der Helligkeit und der Entfernung geschätzt) untereinander vergleichbar zu machen, haben die Autoren die Geschwindigkeiten als Vielfache der Kreisbahngeschwindigkeiten v_c(r_p) angegeben, die sich aus der zuoberst genannten Newtonschen Formel ermitteln lassen; man muss a nur durch die Zentrifugalbeschleunigung z=v²/r ersetzen, die bei einer Kreisbahn genau so groß wie die Schwerebeschleunigung a sein muss, und nach v auflösen, dann erhält man die Kreisbahngeschwindigkeit im Abstand r: v_c(r) =√(Gm_g/r).

Hat also Δv_p/v_c(r_p)  den Wert 1, dann ist die projizierte Geschwindigkeitsdifferenz zwischen den beiden Sternen genau gleich der Newtonschen Kreisbahngeschwindigkeit. Ein seltener Fall, denn dazu müsste die Bahn tatsächlich eine Kreisbahn sein und die Bewegung komplett tangential, also senkrecht zur Sichtlinie in der Himmelsebene erfolgen. Die Umlaufbahnen von Sternen sind aber meist elliptisch und die Ausrichtung der Bahn sowie die aktuelle Position des leichteren Sterns auf seiner Bahn haben im Gaia-Katalog zufällige Werte. Betrachtet man die Menge aller Sternpaare, so ergibt sich für Newtonsche Umlaufbahnen statistisch eine bestimmte Verteilung der Häufigkeit wie im folgenden Bild dargestellt und aus Simulationen ermittelt:

Hier sind verschiedene Häufigkeitsverteilungen für die Exzentrizitäten e der Bahnen angenommen, d.h. des Maßes, wie elliptisch die Bahn ist (e=0: Kreisbahn, e=1: Parabelbahn, also keine geschlossene Ellipse mehr). Die rote gestrichelte Kurve nimmt ziemlich unrealistischerweise an, dass alle Exzentrizitäten gleich häufig seien, die grüne durchgezogene ist eine von Tokovin bestimmte Näherung der Statistik von Doppelsternbahnen, und die blaue gepunktete nimmt an, dass die Häugikeit der Exzentrizitäten mit deren Wert linear ansteigt – ein anderes unrealistisches Extrem. Die Kurven weichen voneinander ab, aber nicht dramatisch. Alle sind oben bei 1,4-facher Kreisbahngeschwindigkeit abgeschnitten, weil √2-mal die Kreisbahngeschwindigkeit gleich der Fluchtgeschwindigkeit ist und die Sterne dann nicht mehr aneinander gebunden wären. Geschwindigkeiten von mehr als Kreisbahngeschwindigkeit sind aber durchaus möglich, weil auf langgezogenen Ellipsenbahnen die Geschwindigkeit im sternennächsten Punkt der Bahn (Periastron) größer als die Kreisbahngeschwindigkeit ist und fast die Fluchtgeschwindigkeit erreichen kann. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit im sternenfernsten Punkt der Bahn (Apastron) viel langsamer als die Kreisbahngeschwindigkeit, und durch die verzerrende Perspektive, die den Geschwindigkeitsanteil in Richtung der Sichtlinie verbirgt, kann die projizierte Geschwindigkeit noch weiter verringert erscheinen. Die Kurven gehen also bis hinunter zu 0 und das Maximum liegt für die grüne Kurve bei 0,6.
 

MoNDuntergang?

Soweit die Theorie – was ergab die Analyse der Gaia-Daten? Im folgenden Bild sind die Häufigkeitsverteilungen der gemessenen Gaia-Sternpaare den theoretischen Kurven (Tokovinin-Verteilung der Exzentrizitäten) gegenüber gestellt, und zwar für vier Bereiche des Abstands der Sterne im jeweiligen Paar. Die rote Kurve, die weit nach rechts auslädt, entspricht den Messungen von Gaia. Die schwarze Kurve ganz links entspricht der grünen Tokovinin-Kurve aus dem Bild oben mit dem Maximum bei 0,6. Die grüne Kurve mit dem am weitesten rechts liegenden Maximum repräsentiert die erwartete Verteilung für Bahnen, die MoND ohne externen Feldeffekt gehorchen und die verbleibende violette Kurve, die sich fast mit der schwarzen deckt, entspricht einer Verteilung für MoND mit externem Feldeffekt durch die Milchstraße gemäß einer Formel nach Banik (ja, genau der Banik von vorhin) und Zhao aus einer Arbeit von 2018. Auf der x-Achse ist die projizierte Geschwindigkeit in Vielfachen der Kreisbahngeschwindigkeit aufgetragen, so dass die Fluchtgeschwindigkeit bei der gestrichelten Line von √2 liegt. Die Kurven und die y-Achse sind so skaliert, dass die Fläche unter der Kurve links von der gestrichelten Linie 1 ergibt.

Betrachtet man einmal nur den linken Teil der Diagramme, links von der √2-Linie, dann ist sofort klar, dass MoND ohne externen Feldeffekt aus dem Rennen ist und viel zu hohe Geschwindigkeiten vorhersagt. Mit zunehmendem Abstand der Sternpaare wird es erwartungsgemäß schlimmer. Die Newton- und die Banik-MoND-Kurve approximieren die Daten viel besser. Mit etwas Optimismus könnte man behaupten, die Newton-Kurve liege noch etwas näher an den Daten, wenn man sich den Bereich zwischen 0 und 1 anschaut, aber die Differenz ist sehr klein und nicht signifikant genug. Vor allem weichen die Messdaten nach rechts hin dramatisch von allen Vorhersagen ab – fast achtfache Kreisbahngeschwindigkeit – hallo?!
 

Hubbel und Schwänzchen

Auch die Autoren waren überrascht von dem Ergebnis und überlegten, wie der Hubbel mit dem Schwänzchen zustande gekommen sein könnte. Nicht entdeckte dunkle Begleitsterne können die Geschwindigkeit zwar beeinflussen, aber niemals in diesem Maße. Zufällig benachbarte Hintergrundsterne wären auch nicht in dieser Häufigkeit zu erwarten gewesen. Als plausibelste Annahme blieb übrig, dass hier tatsächlich Sterne nahe aneinander vorbeifliegen, die aus einem gemeinsamen Sternhaufen stammen und daher ähnlich schnell unterwegs sind, die sich aber lediglich passieren, ohne aneinander gebunden zu sein. Die Autoren simulierten daraufhin solche Vorbeiflüge unter plausiblen Annahmen und konnten die Form der gemessenen Häufigkeitsverteilung hervorragend modellieren:

Die Vorbeiflüge erklären also das Schwänzchen der gemessenen Häufigkeitsverteilung bei hohen Geschwindigkeiten. Leider verfälschen sie die Statistik der echten Doppelsterne vor allem im Bereich nahe der Fluchtgeschwindigkeit, wo man den Unterschied zu MoND mit externem Feldeffekt am besten würde sehen können (da ist die violette MoND-Kurve im vorletzten Bild am deutlichsten gegen die schwarze Newton-Kurve versetzt).
Um diesen Bereich besser auszuloten, bräuchte man noch mehr Sterne – man müsste weiter als 200 pc, vielleicht 300 pc weit schauen. Dann könnte man den Anteil der Vorbeiflüge aus der Messung herausrechnen. Der im zweiten Halbjahr 2020 erwartete erste Teil des zweiteiligen Gaia-DR3-Datenreleases soll doppelt so präzise Daten zu Position und zur Bewegung der Sterne enthalten und würde damit genau die nötige zusätzliche Weitsicht ermöglichen, die die Autoren sich wünschen, um die MoND-vs-Newton-Frage eindeutig entscheiden zu können. Aber immerhin – MoND ohne externen Feldeffekt ist schon vom Tisch!

 

Referenzen

[1] Indranil Banik, Pavel Kroupa, “Directly testing gravity with Proxima Centauri“, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 487, Issue 2, August 2019; arXiv:1906.08264.

[2] Charalambos Pittordis, Will Sutherland, “Testing Modified Gravity with Wide Binaries in GAIA DR2“, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 488, Issue 4, October 2019; arXiv:1905.09619.

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