#Ziegenproblem Redux – Kritisch gedacht
„Ziegenproblem Redux – Kritisch gedacht“
In der wöchentlichen Gameshow “Doppelt oder halb” bekommt ein Kandidat vom Moderator zwei verschlossene und undurchsichtige Schachteln vorgelegt, eine links und eine rechts. In einer der beiden Schachteln befindet sich ein unbekannter Geldbetrag und in der anderen das Doppelte dieses Geldbetrags. Die Position der Schachteln ist dabei zufällig, sie wird durch einen Münzwurf ermittelt. Der Kandidat darf eine Schachtel auswählen und den Inhalt als Gewinn behalten. Nachdem der Kandidat seine Entscheidung getroffen und verkündet hat, bekommt er vom Moderator stets eine letzte Chance, seine Entscheidung nocheinmal zu überdenken und auf die andere Schachtel zu wechseln.
Heute ist Anna als Kandidatin an der Reihe. Sie entscheidet sich aufs Geratewohl für die linke Schachtel. Wie üblich kommt die Frage des Moderators, ob sie nicht doch zur anderen Schachtel wechseln wolle. Anna sieht keinen rechten Grund dazu, denn offensichtlich ist die Chance auf den größeren Betrag bei beiden Schachteln 50%. Doch dann kommen ihr Bedenken; der eigenen Intuition ist ja bekanntlich nicht immer zu trauen. Da Anna mit den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut ist, überlegt sie laut:
“In der linken Schachtel ist ein bestimmter Geldbetrag, den ich jedoch nicht kenne. Nennen wir ihn X. Dann ist in der rechten Schachtel entweder X/2 drin oder 2X, und beides ist gleich wahrscheinlich. Wenn ich zur rechten Schachtel wechsle, dann verliere ich also X/2 mit 50% Wahrscheinlichkeit und gewinne X mit 50% Wahrscheinlichkeit. Im Durchschnitt gewinne ich also mehr, als ich verliere. Oder, etwas präziser ausgedrückt: Der Erwartungswert des Geldbetrags in der rechten Schachtel ist 1/2 (X/2) + 1/2 (2X) = X/4 + X = 5X/4 > X. Also sollte ich doch die rechte Schachtel nehmen!”
Aber das ist aus Symmetriegründen offenbar absurd. Irgendetwas stimmt an Annas Argument nicht. Aber was genau???
Anmerkung 1: Googlen ist wie immer verboten!
Anmerkung 2: Aus Fairnessgründen ersuche ich jene, sich nobel zurückzuhalten, die schon an jenem anderen Ort, an dem ich dieses Rätsel schon einmal vor einiger Zeit gestellt hatte, mitgerätselt haben.
Anmerkung 3: Es geht nicht darum, einen “korrekten” Beweis dafür zu finden, dass Annas Argument fehlerhaft sein muss. (Das ist leicht.) Es geht darum, aufzuzeigen, wo genau in Annas Argument der Fehler liegt!
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