#die Berechnung des Kobordismusrings – Mathlog

Ende der 40er und Anfang der 50er Jahre dominierte in der Topologie der algebraische Zugang. Seine reinste, alle Geometrie zurücklassende Form fand er in Serres Berechnungen von Homotopiegruppen von Sphären, die sich als Anwendungen von Spektralsequenzen ergaben.

Dabei gab es jedoch auch einen auf Pontrjagin zurückgehenden geometrischen Zugang zur Berechnung von Homotopiegruppen von Sphären. Für eine Abbildung betrachtete er das Urbild eines regulären Wertes y als k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M des R^n+k. Eine Basis des Tangentialraums T_ySⁿ gibt nach Zurückziehen mittels Df eine Basis des Normalraums in jedem Punkt von M, eine sogenannte Rahmung der Untermannigfaltigkeit M.

Man bezeichnet zwei gerahmte, k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten als gerahmt kobordant, wenn es eine gerahmte k+1-Untermannigfaltigkeit gibt, deren Rand (mit der induzierten Rahmung) gerade aus den beiden Untermannigfaltigkeiten besteht. Pontrjagin hatte mit elementaren Mitteln bewiesen, dass mit dieser Konstruktion die Homotopiegruppe isomorph zur Gruppe der gerahmten, k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten modulo gerahmter Kobordismen im R^n+k wird.

Nach dem Einhängungssatz von Freudenthal weiß man, dass sich bei festem k ab n=k+2 die Gruppe nicht mehr ändert. Diese Gruppe bezeichnet man als stabile Homotopiegruppe und vermittels Pontrjagins Konstruktion ist sie isomorph zur Gruppe der gerahmten, k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten modulo gerahmter Kobordismen im unendlich-dimensionalen Raum.
Zum Beispiel hat zwei Elemente, die den beiden Rahmungen der S¹ entsprechen. Auch hat zwei Elemente, die den beiden Rahmungen des Torus T² entsprechen. Pontrjagin hatte mit seiner Konstruktion eigentlich beweisen wollen, dass für n>2 nur ein Element habe. Auf dem ICM 1936 in Oslo hatte er dieses falsche Ergebnis angekündigt. (Weil er selbst nicht kommen konnte, wurde es von Lefschetz vorgetragen.) Der Fehler lag letztlich darin, dass er eine gewisse – später nach dem türkischen Mathematiker Cahit Arf als Arf-Invariante bezeichnete – Abbildung für linear gehalten hatte, die aber quadratisch war. Vierzehn Jahre nach Oslo korrigierte er seinen Fehler in einer auf Russisch erscheinenden Arbeit.

René Thom hatte während des Krieges an der École Normale studiert und war dann Henri Cartan nach Strasbourg gefolgt. Das war wegen Ehresmanns Seminar ein Zentrum der Topologie mit vielen auswärtigen Gästen. Cartan wollte, dass er über Ideale analytischer Funktionen arbeite, aber Thom interessierte sich mehr für “nur” differenzierbare Funktionen. Seine erste Notiz in den Comptes Rendus war eine Erweiterung der Morse-Theorie auf eine etwas allgemeinere Klasse von Funktionen. Nicht veröffentlicht hatte er seinen mit Morse-Theorie gegebenen neuen Beweis des Satzes von Lefschetz über Hyperebenenschnitte. Auch später würde er nur einen kleinen Teil seiner Ideen veröffentlichen und so seinen Kollegen gegenüber immer einen Wissensvorsprung haben. Trotzdem würden seine Ideen großen Einfluß auf die Entwicklung der Differentialtopologie bekommen.
In seiner Dissertation 1951 beschäftigte er sich mit Vektorbündeln . Er betrachtete die später als Thom-Raum Th(E) bezeichnete Ein-Punkt-Kompaktifizierung des Totalraums und zeigte, dass man einen Isomorphismus für alle i hat, wobei k die Dimension der Faser ist. Das wurde später als Thom-Isomorphismus bezeichnet oder auch als Integration über Fasern, weil es sich für Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen so interpretieren läßt. Thom zeigte, dass in der anderen Richtung der Isomorphismus durch das Cup-Produkt mit einer gewissen, später als Thom-Klasse bezeichneten, relativen Kohomologieklasse gegeben ist. Die Einschränkung der Thom-Klasse auf die einzelnen Fasern gibt jeweils deren Fundamentalklasse. Durch Anwendung der Steenrod-Kohomologieoperationen auf u – in der Kohomologie mit Z/2Z-Koeffizienten – bekommt man die Stiefel-Whitney-Klassen des Bündels als .

Als nächstes bearbeitete er die Frage, welche Homologieklassen in der Homologie einer Mannigfaltigkeit X sich durch eine Untermannigfaltigkeit realisieren lassen, oder allgemeiner als das stetige Bild einer Mannigfaltigkeit. (Letzteres heißt das Steenrod-Problem und ist auch von Interesse für die Auflösung von Singularitäten in der algebraischen Geometrie.) Die Resultate veröffentlichte er 1952 in mehreren kurzen Ankündigen in den Comptes Rendus de l‘Académie des Sciences und 1954 in der Arbeit „Quelques propiétés des variétés différentiables“ in Commentarii Mathematici Helvetici.