#Vaughan Jones 1952-2020 – Mathlog

Vaughan Jones, Entdecker des nach ihm benannten Knotenpolynoms, ist gestern überraschend in Neuseeland verstorben.

Jones war eigentlich kein Knotentheoretiker, sondern arbeitete über von-Neumann-Algebren.
Die Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbert-Raum ist eine *-Algebra, wobei der Stern jedem Operator A den adjungierten Operator A* zuordnet. Man interessiert sich für die schwach abgeschlossenen Unteralgebren dieser Algebra (sogenannte von-Neumann-Algebren) und bezeichnet sie als Faktor, wenn sie triviales Zentrum (d.h. nur die Vielfachen der 1) haben. Von Neumann und Murray hatten seinerzeit gezeigt, dass man diese Faktoren in Typen klassifizieren kann. Es gibt die Algebren aller solcher Operatoren auf einem (eventuell endlich-dimensionalen) Hilbert-Raum (das sind die Faktoren vom Typ I), dann Algebren, die keine kommutativen Idempotente haben (Faktoren vom Typ II, wo noch Typ II₁ abgegrenzt wird, für die eine Spur existiert) und den als Typ III bezeichneten Rest. Alain Connes hat die Typ III-Faktoren klassifiziert und gezeigt, dass es nur einen Typ II-Faktor gibt, der nicht vom Typ II₁ ist.
Unter den Typ II1-Faktoren gibt es wiederum nur einen hyperfiniten und Vaughan Jones hatte versucht, die Unterfaktoren dieses hyperfiniten Faktors zu klassifizieren. Für solche Faktoren kann man eine Dimension definieren und er fragte sich, was die möglichen Verhältnisse der Dimensionen für Unterfaktoren eines gegebenen Faktors sind. Er bewies einen überraschenden Indexsatz, wonach hier neben allen r>4 nur noch die Werte von 4cos²(π/n) für natürliche Zahlen n>2 möglich sind, und diese Möglichkeiten tatsächlich alle realisiert werden. Beim Beweis dieses Indexsatzes stieß er auf eine zopfgruppenartige Struktur.

Zöpfe kamen eigentlich aus der Knotentheorie. Durch Verbinden der gegenüberliegenden Enden eines Zopfes erhält man eine Verschlingung und ein Satz von Alexander besagt, dass jede Verschlingung auf diese Weise erhalten wird. Die Markov-Relationen beschreiben, wann zwei Zöpfe dieselbe Verschlingung ergeben. 
Für die in der Theorie der II₁-Faktoren betrachtete Spur sind die Markov-Relationen gerade erfüllt. Man bekam also eine polynomielle Knoteninvariante.
Bis dahin kannte man in der Knotentheorie nur eine polynomielle Invariante, das Alexander-Polynom. Jones ging davon aus, dass seine Knoteninvariante mit diesem übereinstimmen müsse. Er setzte sich mit Joan Birman in Verbindung, die damals mit 55 Jahren als die führende Knotentheoretikerin galt, nachdem sie nach langer Tätigkeit in der Industrie erst im Alter von 40 Jahren promoviert hatte. Die beiden überprüften die Resultate, stellten aber zu ihrer Überraschung fest, dass es sich um ein anderes als das Alexander-Polynom handelte, also eine neue Knoteninvariante, die insbesondere andere Skein-Relationen erfüllte. Topologen hatten diese Invarante bisher nicht gesehen und sie erwies sich als außerordentlich nützlich. (Witten fand eine stringtheoretische Interpretation mittels eines Pfadintegrals.) Aus Jones‘ Arbeit entwickelte sich dann eine ganze Industrie von durch Skein-Relationen definierten Knoteninvarianten.