#Bizarre Koinzidenzen der Fibonacci-Folge – Mathlog

Im Logbuch Mathematik, Mitteilungen der DMV 2020/1, S.49 (Bild unten, drittletzter Abschnitt “… et quelle coincidence”, oder Link für Abonnenten) werfen Sie die Frage auf, ob
für die Glieder der Fibonacci-Folge

die Gleichung

“nur eine Koinzidenz” ist. Ich weiß nicht, ob Sie dazu schon Antworten erhalten haben, ich habe die Summe jedenfalls ein wenig verallgemeinert:

Wenn eine beliebige lineare Rekursion der Ordnung r mit den Startwerten ist,

und

absolut konvergiert (was für hinreichend große x der Fall ist), dann gilt für die Summe

,

wobei p(x) das charakteristische Polynom

der linearen Rekursion ist.

Die Frage nach Identitäten wie der im Logbuch angegebenen entspricht dann also der Frage, ob es Folgenglieder mit

für irgendwelche ganzzahligen m gibt (reelle m findet man natürlich leicht, die sind aber weniger interessant).

Für die Fibonacci-Folge findet man da außer noch ein paar andere Lösungen:

(Die Lösungen sind paarweise, weil p(x) quadratisch ist; vermutlich gibt’s aber nur endlich viele Lösungen).

Von daher würde ich sagen, dass das alles “Zufallstreffer” sind, die man leicht finden kann, wenn man lange genug systematisch danach sucht; aber ein tieferer Zusammenhang ist mir nicht aufgefallen. In diesem Sinne würde ich sagen, dass es wirklich nur eine Koinzidenz ist. Wie sehen Sie (die Leser) das?