KI löst Millenium-Problem – Mathlog

Die Millenium-Probleme wurden 2000 vom Clay-Institut ausgelobt mit jeweils einer Million Dollar Preisgeld. Das bisher einzige gelöste war die von Gregori Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung. Gerüchteweise soll sich Perelman nach dem Abschluss der Arbeit an der Poincaré-Vermutung dem nächsten Milleniumproblem, der Regularität der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen zugewandt haben, erfolglos.

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten im 3-dimensionalen Raum und die offene Frage war, ob sie stets glatte Lösungen haben. Das analoge Problem für die 2-dimensionale Ebene war 1959 von Olga Ladyzhenskaya gelöst worden. Terence Tao hatte 2014 bewiesen, dass bestimmte Ansätze zum Beweis der Existenz glatter Lösungen nicht funktionieren können und hatte ein Programm entworfen, mit dem man die Unlösbarkeit in bestimmten Fällen angehen könnte. Vor einigen Tagen machte Tristan Buckmaster auf Mastodon öffentlich, dass er gemeinsam mit Levent Alpöge von Anthropic mathematische Resultate bewiesen hatte, die nahe daran waren, die Navier-Stokes-Vermutung zu widerlegen, also eine Explosion in endlicher Zeit zu bewiesen. Gestern hat OpenAI einen Beweis veröffentlicht, dass es solche “explodierenden” Gegenbeispiele tatsächlich gibt. (Das führt jetzt zu einem Prioritätsstreit, weil Buckmaster in einem Statement OpenAI vorwirft, seine Prompts gesehen und benutzt zu haben. Er hatte seine Fragen nicht nur bei Claude, sondern auch bei ChatGPT gestellt.)

Man muss jetzt wohl endgültig konstatieren, dass Künstliche Intelligenzen jedes bekannte mathematische Problem lösen können und meine Theorema Magnum-Reihe damit zu einem Ende gekommen ist.

In den nächsten Tagen erscheint das neue Heft der Mitteilungen der Deutschen Mathematischen Vereinigung. Ich hatte für dieses am 20. Juli einen Artikel geschrieben, in dem ich auf fünf Seiten verschiedene Aspekte künstlicher Intelligenzen erörterte. Zehn Tage später hatte ich in Anbetracht der neuen Entwicklungen noch einmal ein zweiseitiges Postskriptum an den Artikel angehängt, in dem es darum ging, wie KI die mathematische Forschung verändert. Den Text kann man unten angehängt ansehen, er erscheint mit den DMV-Mitteilungen diese oder nächste Woche und ist natürlich bereits komplett obsolet.

Um noch einmal die Entwicklungen der letzten Wochen zu rekapitulieren: Ende Mai “veröffentlichte” Lewent Alpöge von Anthropic auf X ein Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung. Das war zwar eine berühmte Vermutung, das Gegenbeispiel war allerdings völlig elementar nachzuprüfen und damit die Art von Gegenbeispielen, die mit KI nun zu “niedrig hängenden Früchten” geworden waren. Trotzdem verfestigte sich in den folgenden Wochen bei Mathematikern der Eindruck, dass die Lösung mathematischer Probleme gemeinsam mit Künstlichen Intelligenzen nicht mehr nur vom Stellen der richtigen Fragen und von der richtigen Form der Zusammenarbeit abhing, sondern vor allem auch von der technischen Entwicklung. Am 5. September berichtete ein ungarischer Kombinatoriker auf MathOverflow dass er seit einem Jahr an einem Problem gearbeitet habe, dieses auch in Zusammenarbeit mit ChatGPT-5 nicht lösen konnte, aber am Tag des Erscheinens von ChatGPT-6 diesem nur die Anweisung geben musste, das Problem zu lösen und daraufhin einen Beweis erhielt.

Auf jeden Fall findet KI nicht nur Gegenbeispiele, sondern auch Beweise. Ralph Furman veröffentlichte am 13. August gemeinsam mit Lewent Alpöge einen Preprint, in dem bewiesen wird, dass 30% der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden liegen. Am 23. August machte Lewent Alpöge öffentlich, dass Claude in einer 100 Seiten langen Arbeit die Existenz komplexer Strukturen auf der 6-Sphäre bewiesen hat. (Es folgt aus der Theorie charakteristischer Klassen, dass es außer der bekannten Struktur der 2-Sphäre als Riemannsche Zahlenkugel auf keinen anderen Sphären als der 6-Sphäre fast-komplexe Strukturen geben kann. Auf der 6-Sphäre kannte man fast-komplexe Strukturen, die beweisbar nicht integrale sind. Man hatte seit Jahrzehnten versucht, die Nichtexistenz komplexer Strukturen auf der 6-Sphäre zu beweisen.) Die Lösung bestand in der expliziten Konstruktion einer Familie komplexer Strukturen, so dass es sich in gewisser Weise natürlich schon um ein Gegenbeispiel – zur Vermutung der Nicht-Existenz – handelt. Nur ist das eben kein direkt nachzurechnendes Beispiel wie bei der Jacobi-Vermutung, sondern benutzt sehr viel von dem, was in den letzten hunderten in Geometrie und Topologie entdeckt worden ist. Philip Engel hat eine Zusammenfassung der Konstruktion geschrieben. Am 28. August veröffentlichte Justin Leder von Anthropic einen Beweis der Vermutung über sterbende Perkolation. Perkolationstheorie ist eines der wichtigsten und schwierigsten Gebiete in der aktuellen mathematischen Forschung und die Vermutung galt dort als das vielleicht schwierigste ungelöstes Problem, über das zum Beispiel der 2022-er Fields-Medaillist Hugo Duminil-Copin lange nachgedacht hatte. Und jetzt also die (negative) Lösung des Navier-Stokes-Problems in 88 Stunden. Es sieht nicht danach aus, dass es noch irgendwelche für eine KI nicht lösbaren mathematischen Probleme gibt.