#Theorema Magnum MMXVI: Erdős‘ Diskrepanz-Problem [Mathlog]

Eine Anwendung in der Theoretischen Informatik war die von denselben Autoren dann bewiesene Existenz k-regulärer Ramanujan-Graphen für beliebiges k. Ramanujan-Graphen sind durch gewisse Bedingungen an die Eigenwerte ihrer Adjazenzmatrix charakterisiert und sie haben annähernd optimale Expander-Eigenschaften. “Expansivität” mißt die Stabilität des durch den Graphen beschriebenen Netzwerkes: sie ist klein, wenn man den Graphen so in zwei annähernd gleich große Teile zerlegen kann, daß es nur wenige Verbindungen zwischen den beiden Teilen gibt. Expander waren ursprünglich von Kolmogorow und Barzdin eingeführt worden: sie hatten bewiesen, dass man einen (mit Radius 1 verdickten) d-regulären Graphen mit N Ecken im R³ in einen Ball mit Radius R=c_dN^1/2 einbetten kann und dass sich die Abschätzung dür den Radius wegen der Existenz von Expander-Graphen nicht verbessern läßt. Die Verallgemeinerungen von Expander-Graphen auf Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe wurden in den Nuller und Zehner Jahren zu einem wichtigen Thema der geometrischen Topologie.

Die Diskrepanz-Vermutung wurde 2010 auf Vorschlag von Timothy Gowers eines der ersten Polymath-Projekte massiver Kollaboration von Mathematikern im Internet. Zwar konnte die Vermutung nicht gelöst werden, es konnte aber gezeigt werden, dass die Vermutung sich auf eine andere über (stochastische) multiplikative Funktionen mit Werten im Einheitskreis zurückführen läßt.
Multiplikative Funktionen sind ein Thema der analytischen Zahlentheorie, ein klassisches Beispiel ist die Liouville-Funktion λ(n), die den Wert -1 oder 1 annimmt, je nachdem ob n ungerade oder gerade viele Primfaktoren hat. Ein anderes Beispiel ist die Möbius-Funktion μ(n), die für eine quadratfreie Zahl mit λ(n) übereinstimmt und ansonsten den Wert 0 annimmt. Für teilerfremde Zahlen gilt μ(ab)=μ(a)μ(b). Der Primzahlsatz über die Verteilung der Primzahlen ist äquivalent zu und Denjoy bemerkte 1931, dass sich die Riemannsche Vermutung über Nullstellen der Zetafunktion mit Hilfe der Möbius-Funktion wahrscheinlichkeitstheoretisch formulieren läßt: es soll gelten.
Das Verständnis solcher multiplikativer Funktionen, insbesondere ihres Verhaltens auf kurzen Intervallen, verbesserte sich vor allem durch Arbeiten von Matomäki und Radziwiłł. Insbesondere konnten sie in einer 2016 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit ihre Mittelwerte auf kurzen Intervallen zu Mittelwerten auf langen Intervallen in Beziehung setzen, womit sie ältere Vermutungen über die Liouville- und Möbius-Funktion und die Existenz von “x^ε-glatten Zahlen” (Zahlen mit relativ kleinen Primfaktoren) in Intervallen [x,x+c(ε)√x] beweisen konnten. Diese Arbeit und weitere gemeinsame Arbeiten von Matomäki und Radziwiłł lieferten auch partielle Resultate für die Chowla-Vermutung über die asymptotische Vernachlässigbarkeit von Paarkorrelationen der Liouville-Funktion, derzufolge solche Summen asymptotisch o(x) sein sollen. Allgemeiner stellte die Elliott-Vermutung dieselbe Behauptung nicht nur für die Liouville-Funktion, sondern für multiplikative Funktionen mit gewissen Voraussetzungen auf. Aus der Elliott-Vermutung würde die Diskrepanz-Vermutung folgen, jedoch fanden Matomäki-Radziwiłł-Tao in ihrer Arbeit Gegenbeispiele zur Elliott-Vermutung, die sie deshalb durch eine mit stärkeren Voraussetzungen ersetzten. (Taos Reduktion der Diskrepanz-Vermutung auf die Elliott-Vermutung benutzte wesentlich die Argumente aus dem Polymath-Projekt.)

Terence Tao stellte anhand einiger Fast-Gegenbeispiele fest, dass multiplikative Funktionen ein wichtiger Testfall für die Diskrepanz-Vermutung sind. Seine gemeinsamen Arbeiten mit Matomäki und Radziwiłł über multiplikative Funktion dienten insofern der Vorbereitung des Beweises der Diskrepanz-Vermutung.

Das Foto zeigt Tao, wie er als 9-jähriges Wunderkind mit dem damals 71-jährigen Erdős auf einem Sofa sitzt und sich mathematische Probleme erklären läßt. Es ist nicht bekannt, ob sie auch über das Diskrepanz-Problem gesprochen haben.
Lisitsa und Konev, zwei Informatiker aus Liverpool, bewiesen 2014 die Diskrepanz-Vermutung zunächst für C≤2. Sie zeigten, dass dann stets k≥1161 gewählt werden kann. Ihr Computerbeweis war mit 13 Gigabyte der bis dahin aufwendigste Beweis der Mathematikgeschichte. (Diesen Rekord verloren sie bald darauf an eine Gruppe, welche bewies, dass 7824 die maximale Zahl ist, bis zu der man die ganzen Zahlen mit zwei Farben färben kann ohne dass es ein einfarbiges Tripel (a,b,c) mit a2+b2=c2 gibt. Jener Beweis benötigte 200 Terabyte.)
Ein Jahr später bewies Tao dann die Vermutung aufbauend auf den Vorarbeiten des Polymath-Projekts, ganz ohne Computerhilfe. Der wesentliche neue Teil war eine gemittelte logarithmische Version der Elliott-Vermutung, aufbauend auf Abschätzungen aus der gemeinsamen Arbeit mit Matomäki und Radziwiłł. Seine Arbeit “The Erdös discrepancy problem” wurde 2016 als erster Artikel der neugegründeten Fachzeitschrift Discrete Analysis veröffentlicht.