Theorema Magnum MMXXIII: die P=W-Vermutung – Mathlog

Für eine Riemannsche Fläche X und eine reduktive algebraische Gruppe G gibt nichtabelsche Hodge-Theorie einen Isomorphismus zwischen der Charaktervarietät der Darstellungen von π₁X in G und dem Modulraum der G-Higgs Bündel über X. Diese in den 80er Jahren von Carlos Simpson entwickelte Theorie verallgemeinerte den Satz von Narasimhan und Seshadri, der für G=U(n) einen Isomorphismus der Charaktervarietät mit dem Modulraum der stabilen Vektorbündel bewiesen hatte. Die Bezeichnung nichtabelsche Hodge-Theorie bezieht sich darauf, dass H₁(X,GL(n,C)) eine nichtkommutative Verallgemeinerung von H₁(X,C) ist, wo die Hodge-Theorie harmonischer Formen einen Isomorphismus H₁(X,C)=H₁(X,O_X)+H₀(X,Ω¹X) gibt, und dass die Korrespondenz zwischen Darstellungen und Higgs-Bündeln eine analoge Zerlegung von H₁(X,GL(n,C)) in H₁(X,GL(n,O_X)) und den Raum der End(V)-wertigen 1-Formen gibt.

Man hat also für jede Darstellung (äquivalent jedes flache Bündel) ein Higgs-Bündel und umgekehrt. Einen alternativen Beweis dazu gab Corlette mittels harmonischer Abbildungen, er bewies, dass jede reduktive Darstellung durch eine äquivariante harmonische Abbildung in den entsprechenden symmetrischen Raum realisiert werden kann.

Die Untersuchung der Topologie des Modulraums der Higgs-Bündel oder äquivalent der Charaktervarietäten (als Modulräume flacher Bündel) geht länger zurück als die Definition von Higgs-Bündeln oder Charaktervarietäten. Harder und Narasimhan hatten 1974 die Kohomologiegruppen der Modulräume stabiler Vektorbündel berechnet, in dem sie zunächst die Anzahl der Punkte über endlichen Körpern berechneten und dann die von Deligne bewiesenen Weil-Vermutungen anwandten. Atiyah und Bott reproduzierten 1983 mit eichtheoretischen Methoden das Resultat von Harder und Narasimhan. Sie wandten Morse-Theorie auf das Yang-Mills-Funktional auf dem Modulraum an. Die Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen auf einer Fläche sind leicht zu beschreiben, unter zusätzlicher Ausnutzung der Symmetrien (d. h. der äquivarianten Theorie) konnten Atiyah und Bott eine perfekte Morse-Funktion konstruieren, deren Anzahlen kritischer Punkte also genau die Betti-Zahlen des Modulraums geben.
1987 beschrieb dann Hitchin die Topologie der Charaktervarietät von Flächengruppen für G=PSL(n,R) ebenfalls durch Untersuchung des Yang-Mills-Funktionals. Hier gab es drei oder sechs (je nachdem ob n ungerade oder gerade) Zusammenhangskomponenten, die nicht alle durch charakteristische Klassen unterschieden wurden. Eine der Komponenten bezeichnete er als höheren Teichmüller-Raum, weil sie ein Bild des Teichmüller-Raums enthielt und die Darstellungen ähnliche Eigenschaften hatten; heute wird sie als Hitchin-Komponente bezeichnet.
Hitchins Ansatz war, statt der Charaktervarietät einen anderen Modulraum zu betrachten, nämlich eben den von stabilen Higgs-Bündeln. Higgs-Bündel definierte er dabei als holomorphe G-Bündel V über der Fläche mit einer zusätzlichen Struktur, einer End(V)-wertigen holomorphen 1-Form. Die stabilen Higgs-Bündel über einer Fläche entsprechen den Darstellungen der Fundamentalgruppe nach GL(n,C). Für stabile Bündel gibt es eine eindeutige Lösung der Yang-Mills-Gleichung, so dass man auch den Modulraum der Lösungen dieser Gleichung betrachten kann. 
Dies war also der Beginn der Theorie der Higgs-Bündel und über diese bewies dann Simpson in seiner Dissertation, dass ihr Modulraum isomorph zum Modulraum der flachen Bündel und damit zur Charaktervarietät ist. Diese nichtabelsche Hodge-Theorie wurde auch ein nützliches Werkzeug für die Frage, welche Gruppen als Fundamentalgruppen von Kähler-Mannigfaltigkeiten und insbesondere projektiven Varietäten vorkommen können.
Für den Modulraum von Higgs-Bündeln hatte Hitchin in seiner Konstruktion einer Morse-Funktion eine Abbildung des Modulraums nach definiert. (K ist das kanonische Bündel über der Riemannschen Fläche.) Diese Abbildung definiert die Hitchin-Faserung und man kann mit ihr die Topologie des Modulraums untersuchen.

Hausel und Rodriguez-Villegas für GL(2,C) und später Mellit im allgemeinen Fall hatten in ihren Arbeiten über die Kohomologie von Charaktervarietäten einen schweren Lefschetz-Satz (analog zu dem bekannten Satz über die Kohomologie von Kähler-Mannigfaltigkeiten) bewiesen. Das führte dann auf die P=W-Vermutung, die diese überraschende Symmetrie strukturell erklären sollte. Die Hitchin-Abbildung kann verwendet werden, um auf der Kohomologie des Modulraums der GL(n,C)-Higgs-Bündel eine sogenannte perverse Filtrierung zu definieren. Die P=W-Vermutung besagt, dass diese Filtrierung mit der mittels gemischter Hodge-Strukturen definierten Gewichtsfiltrierung auf der Kohomologie der Charaktervarietät übereinstimmt.

Die Vermutung wurde unabhängig von Maulik-Shen und von Hausel-Mellit-Minets-Schiffmann bewiesen. Der Beweis benutzte, dass die Kohomologie von tautologischen Klassen erzeugt wird, deren Lage in der Gewichtsfiltrierung von Shende untersucht worden war. (Das hatte Mellit für den Beweis des schweren Lefschetz-Satzes verwendet.) Das reduzierte die Vermutung darauf, die Lage der tautologischen Klassen in der perversen Filtrierung zu finden, was mit Methoden der geometrischen Darstellungstheorie gelöst wurde.