#die Selbergsche Spurformel – Mathlog

Die Poissonsche Summenformel für schnell fallende -Funktionen f hat zahlreiche Anwendungen in Zahlentheorie und Analysis, beispielsweise beim Beweis der Transformationsformel der Theta-Funktion oder für gewisse Reihenentwicklungen.
Man kann sie geometrisch interpretieren, indem man sieht, dass auf dem Kreis S¹=R/Z die natürlichen Zahlen die Längen der geschlossenen Geodäten sind und die Zahlen -(2πk)² die Eigenwerte des Laplace-Operators d²/dx². Die Summenformel setzt also die Längen geschlossener Geodäten mit den Eigenwerten des Laplace-Operators in Beziehung.

Der Kreis und die Sphäre sind die einfachsten Beispiele kompakter symmetrischer Räume. Für den Kreis kennt man die Eigenfunktionen des Laplace-Operators, es sind die Funktionen e^ikx. Auch für die Sphären kennt man die Eigenfunktionen des Laplace-Operators – es sind die Kugelflächenfunktionen – und für die Eigenwerte hat man eine ähnliche Summenformel , wobei sich der auf der rechten Seite vorkommende Term als Länge geschlossener Geodäten auf der Sphäre interpretieren läßt.

Schwieriger, aber für viele Anwendungen in der Mathematik von Interesse, ist der Laplace-Operator auf hyperbolischen Flächen H²/Γ, wobei H² die hyperbolische Ebene und Γ ein Gitter ist, d.h. H²/Γ ist entweder kompakt oder zumindest wie beim für zahlentheoretische Anwendungen wichtigen Beispiel Γ=SL(2,Z) von endlichem Volumen.
Die Suche nach einer Summenformel für die Eigenwerte des hyperbolischen Laplace-Operators ist ein Spezialfall der folgenden allgemeinen Konstruktion. Sei G die Isometriegruppe eines symmetrischen Raumes X und Γ ein Gitter in G. Der Quotient X/Γ ist dann ein lokal symmetrischer Raum endlichen Volumens. Man hat eine Linkswirkung von G auf X/Γ und damit eine unitäre Darstellung der Lie-Gruppe G auf L²(X/Γ), die sogenannte reguläre Darstellung. Ein grundlegendes Problem in der Darstellunstheorie von Lie-Gruppen ist es, diese Darstellung in irreduzible Summanden ρ_k mit Charakteren σ_k zu zerlegen und die Vielfachheiten N_k der einzelnen Charaktere zu bestimmen.
Wegen der Unendlichdimensionalität der regulären Darstellung kann man für die Bilder der einzelnen Gruppenelemente zunächst keine Spur definieren. Man betrachtet deshalb für eine Darstellung und eine fest gewählte Funktion mit kompaktem Träger den auf wirkenden Konvolutionsoperator , der ein Spurklasseoperator ist. Für seine Spur gibt es die Identität , wobei auf der rechten Seite über die Konjugationsklassen in Γ summiert wird, Γ_γ und G_γ die Zentralisatoren von γ in Γ bzw. G sind, und das Orbitintegral O_γ(f) durch definiert ist. Der linke Ausdruck wird als die spektrale Seite der Spurformel bezeichnet, der rechte Ausdruck als die geometrische Seite der Spurformel. Das Ziel ist, diese Ausdrücke direkt zu beschreiben.

Für hyperbolische Flächen und dann allgemeiner lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 fand Selberg explizite Spurformeln. Auf der rechten Seite stehen Summen über Konjugationsklassen, auf der linken Summen über Eigenwerte des Laplace-Operators Δ. Für kompakte hyperbolische Flächen bewies er beispielsweise 1956 die Formel , wobei L(γ) die Länge der γ entsprechenden geschlossenen Geodäten ist.

Eine der ersten Anwendungen dieser Gleichung war ein neuer Beweis von Weyls Gesetz über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte des Laplace-Operators.
Selberg selbst war über die Zahlentheorie zur Beschäftigung mit der Spurformel gekommen. Der Zusammenhang zwischen den Längen geschlossener Geodäten und den Eigenwerten des Laplace-Operators hat einige Ähnlichkeit mit dem Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. (Bemerkenswerterweise hatte Selberg 1948 einen elementaren Beweis für den Primzahlsatz gefunden, in dem die Riemannsche Zetafunktion eben nicht verwendet wurde, und für den er 1950 die Fields-Medaille erhielt. Abgesehen davon war er aber ein führender Experte der Riemannschen Zetafunktion, und er führte in seiner Arbeit zur Spurformel eine analoge Zetafunktion für hyperbolische Flächen ein, in der Primzahlen durch Längen geschlossener Geodäten ersetzt wurden.)
Eine wichtige Anwendung fand die Spurformel bei der Berechung der Dimension von Räumen automorpher Formen, die sie (jedenfalls im kompakten Fall) auf die Berechnung gewisser Integrale zurückführt.