#Theorema Magnum MCMXXXVIII: der Sobolewsche Einbettungssatz

Schauder, damals Gymnasiallehrer in Lviv, hatte dank eines Stipendiums mit Lichtenbaum in Leipzig und mit Leray an der Sorbonne zusammenarbeiten können. Mit Leray definierte er 1933 einen Abbildungsgrad für Operatoren der Form Id+K:M—>Y mit K kompakt. Ihre Definition hängt von zunächst von einem Punkt y in Y ab und sie nahmen an, dass es keine Urbilder von Id+K für y auf dem Rand von M gäbe; nur unter dieser Bedingung ist der Abbildungsgrad deformationsinvariant. Diese Annahme sollte gerechtfertigt werden, indem sie mit a-priori-Abschätzungen erreichten, dass alle Bildpunkte in einer Kugel (und nicht auf dem Rand) liegen – dann kann man Fixpunktsätze anwenden.
Ist der Abbildungsgrad nicht Null, folgt aus der Deformationsinvarianz (letztlich also aus den a-priori-Abschätzungen) die Lösbarkeit für jede rechte Seite y. Damit bewiesen sie Existenzsätze für quasilineare Gleichungen 2. Ordnung in der Ebene.
Für lineare, gleichmäßig elliptische Gleichungen bewies Schauder a-priori-Abschätzungen in Abhängigkeit der Hölder-Normen der Koeffizienten. Eine Anwendung auf nichtlineare Gleichungen gelang erstmals 1938 Morrey.

Neben der Theorie der Minimalflächen, wo Radó und Douglas 1930 erstmals allgemeine Existenzsätze bewiesen, blieb die Leray-Schauder-Theorie noch für lange Zeit die einzige entwickelte Theorie für partielle Differentialgleichungen.

Ein weiteres der Hilbertschen Probleme hatte nach der Existenz von Lösungen von Randwertproblemen gefragt. Klassisches Beispiel ist das Dirichlet-Problem Δu=0 auf D² mit vorgegebenen Randwerten f. Die Lösung dieses Problem ist äquivalent dazu, das Integral unter den Funktionen mit vorgegebenen Randwerten zu minimieren. Es ist zunächst nicht klar, dass eine solche minimierende Funktion existiert. Man hat aber den Ansatz, eine Folge u_k zu betrachten, für die I(u_k) gegen das (wegen der Positivität des Integrals existierende) Infimum inf_uI(u) konvergiert und man kann versuchen, mit einem Kompaktheitsargument die Konvergenz zu beweisen. Eugenio Elia Levi – damals einer der hoffnungsvollsten italienischen Mathematiker, dann aber im ersten Krieg gefallen – hatte 1907 gezeigt, dass die minimierende Folge in der Vervollständigung des Funktionenraums konvergiert, also gegen eine verallgemeinerte Funktion. (Bernstein hatte mit seinen Methoden 1913 auch dieses Hilbert-Problem für eine größere Klasse von elliptischen Randwertproblemen gelöst.)

Als großer Durchbruch und ihrer Zeit lange voraus galt die 1934 in Acta Mathematica veröffentlichte Arbeit „Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace“. Jean Leray fand dort schwache Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen, die die Strömung von linear-viskosen Flüssigkeiten oder Gasen beschreiben. Angeblich soll er durch die Beobachtung von Strudeln und Wirbeln der Seine an den Pfeilern des Pont Neuf zur Suche nach nichtglatten Lösungen der die Strömung linear-viskoser Flüssigkeiten beschreibenden Navier-Stokes-Gleichungen für die Geschwindigkeit u und den Druck p inkompressibler Flüssigkeiten motiviert worden sein. Bis dahin hatte man Lösungen nur für spezielle Geometrien (oder kleine Zeitintervallen) gefunden, aber keine globalen Lösungen auf dem R³. Klassische Techniken wie das (bei der Poisson-Gleichung Δu=f oder der Wärmeleitungsgleichung nützliche) Maximumprinzip greifen hier nicht, beispielsweise wird in engen Röhren das Maximum von u in der Verengung und nicht auf dem Rand angenommen.
Eine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist eine L²-Funktion, deren schwache Ableitung (im Sinne der später von Schwartz definierten Distributionen) wieder L² ist und die die schwache Version der Gleichungen erfüllt, also

für alle -Funktionen mit kompaktem Träger und verschwindender Divergenz. (Für differenzierbare f läßt sich diese schwächere Gleichung mittels partieller Integration aus der anderen herleiten.) Aus dieser Gleichung folgt die Energiegleichung und daraus wiederum, dass die Summanden auf der linken Seite (die kinetische Energie und die Dissipationsenergie) für alle Zeiten beschränkt bleiben. Die Energiegleichung wurde zum entscheidenden Argument für die Konstruktion globaler schwacher Lösungen.
Leray dachte sich diese schwachen Lösungen als Fortsetzung der glatten Lösung über die Singularitäten hinaus und bezeichnete sie als “turbulente Lösungen”: ihre Singularitäten sollten die Turbulenz beschreiben.